Impulsul fotonului inainte de ciocnirea elastica cu electronul in repaus a fost hν
0/c, iar energia
pe care a avut-o a fost ε
0 = hν
0;
dupa ciocnire fotonul va fi difuzat cu impulsul hν/c, si cu energia ε = hν. In acelasi timp electronul care a avut
impulsul initial zero(electronul a fost in repaus) si energia E
0 = m
0c², dupa ciocnire are impulsul p = mv
si energia Ee = mc²
Sistemului izolat format din foton si electron liber in repaus i se aplica cele doua legi de conservare (a energiei si a impulsului)
hν
0 + m
0c² = hν + mc²
conservarea impulsului
impulsul initial al fotonului
impulsul final al fotonului
impulsul electronului
Avem doua ecuatii una scalara si una vectoriala. Pentru a putea calcula Δλ ar trebui sa alegem un sistem de axe si sa
proiectam relatiile vectoriale pe doua axe perpendiculare.
Observam ca Δ ABC are ca laturi marimile impulsurilor. Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora si avem petru impuls:
m²v²=[h²ν²
0/c²] + [h²ν²/c²] -[2h²νν
0/c²]cosφ (1)
Relatia (1) se mai pote scrie sub forma:
Ridicam la patrat ecuatia care exprima legea conservarii energiei
[mc²]² = [h( ν
0- ν) + m
0c²]²
m²c²c² = h² ( ν
0 - ν )²+m²
0c²c² +
2m
0c²h (ν
0 -ν)
m²c²c² = m²
0c²c² + 2m
0c²h (ν
0 -ν )+
h²ν²
0 - 2h²νν
+h²ν² (2)
Pentru a elimina patratele frecventei facem diferenta dintre relatiile (2) si (1')
m²c²c² - m²v²c² = m²
0c²c² +
2m
0c²h ( ν
0 - ν) +h²ν²
0 -2h²νν
0 +
h²ν² - h²ν²
0 - h²ν² +2h²νν
0cosφ
In membrul stang avem
m²c²c² - m²v²c² = m²c²c² (1 - v²/c²)
m² (1 - v²/c²) = m²
0
Membrul stang devine:
m²c²c² - m²v²c² = m²
0c²c²
m²
0c²c² = m²
0c²c² + 2m
0c²h (ν
0 - ν) - 2h²νν
0 (1 - cosφ)
0=2moc²h ( ν
0 - ν) - 2h²νν
0 (1 - cosφ)
2m
0hc² (ν
0 -ν ) = 2h²νν
( 1 - cosφ)
Se imparte totul cu 2hm
0cνν
0
c( ν
0 - ν )/νν
0 = h/m
0c (1 - cosφ )
C/ν - c/ν
0 = h/m
0c (1 - coφ)
c/ν =λ,iar c/ν
0 = λ
λ - λ
0 = Δλ = h/m
0c
(1 - cosφ)
h/m
0c = Λ → lungimea de unda Compton.
Δλ = Λ(1 - cosφ)
1 - cosφ = 2sin²φ/2
Δλ = 2Λsin²φ/2
Teoria difuziei Compton presupune ca electronul este liber sau slab legat. Electronul este slab legat doar pentru elementele de la
inceputul sistemului periodic. Odata cu cresterea numarului atomic Z
creste si numarul electronilor puternic legati in atom, deci in atomii grei sunt slab legati numai electronii periferici. De aceea,
in cazul elementelor grele, numarul relativ de electroni care produc
efectul Compton este mai mic de cat la elementele usoare. In aceasta situatie cea mai mare parte din fotonii incidenti vor fi difuzati
fara aparitia efectului Compton, La acesti fotoni lungimea de
unda nu se modifica.
In concluzie:
Daca fotonul interactioneaza cu un electron legat de un atom, fotonul transmite toata energia lui (fotonul dispare) electronului,
daca aceasta energie este suficient de mare atunci o parte din ea
este folosita sub forma de energie cinetica, iar restul pentru a smulge electronul din atom, acesta este efectul fotoelectric;
¤ In cazul in care energia fotonului incident este mai mica decat energia necesara extragerii electronului din atom, atunci
energia fotonului este transformata in energie de excitare;
¤ De asemenea un foton poate disparea dand nastere unei perechi electron - pozitron (antiparticula electronului)
γ → e
- + e
+. Acest proces poate avea loc cand energia
fotonului (hν ≥ 2mc
2) este cel putin egala cu energia perechii electron-pozitron.
¤ La ciocnirea elastica dintr-un foton si un electron liber apare efectul Compton.
Calculul energiei electronului de recul
Din legea conservarii energiei rezulta
Ee = hν
0 - hν
Ee = h( ν
0 -ν )
Ee = hν
0(1 - ν/ν
0)
ν =c/λ;ν
0 = c/λ
0
Ee = hν
0[1 - (c/λ)/(c/λ
0)]
Ee = hν
0[(1 - λ
0/λ)] = hν
0(λ - λ
0)/λ
Ee =hν
0Δλ/λ
Ee = hν0[Δλ/(Δλ + λ0)]
