Subiectul II.
Rezolvaţi următoarea problemă (15 puncte)

O locomotivă cu masa M = 40 t tractează, pe o cale ferată rectilinie orizontală, trei vagoane de masă m = 20 t fiecare. Forţa de rezistenţă la înaintare care acţionează asupra fiecărui vagon este de 2000N, iar forţa de rezistenţă la înaintare care acţionează asupra locomotivei este de 5000N. Aceste forţe de rezistenţă sunt considerate constante pe tot parcursul deplasării.
a. Determinaţi valoarea forţei de tracţiune dezvoltate de motorul locomotivei pentru deplasarea trenului cu viteză constantă.
b. Pe o anumită porţiune a traseului, forţa de tracţiune dezvoltată de motorul locomotivei are valoarea de 46kN. Calculaţi acceleraţia trenului pe această porţiune.
c. Determinaţi valoarea forţei de tensiune dezvoltate în cuplajul dintre ultimele două vagoane în situaţia specificată la punctul b.
d. În momentul în care viteza trenului este v, mecanicul opreşte motorul şi lasă trenul să se deplaseze liber. Trenul se opreşte după un interval de timp t = 100 s. Calculaţi valoarea vitezei v.
Datele problemei
M = 40t = 4·10⁴kg
n = 3
m = 20t = 2·10⁴kg
F_r,v = 2000N
F_r,l =5000N
a.
F_t? (N)
v = const
b.
F'_t = 46kN = 46·10³N
a ?(m/s²)
c.
T? (N)
d.
v_o? (m/s)
F_t = 0
v = 0
t = 100s

Rezolvarea problemei
Folosim metoda observatorului inertial (observatorul studiaza miscarea dintr-un sistem de referinta legat de sol, care este un sistem inertial). Asupra corpurilor actioneaza forta de tractiune, fortele de rezistenta, greutatile corpurilor si reactiunile normale care nu intervin in problema.
Alegem un sistem de doua axe ox si oy perpendiculare intre ele.
a Aplicam principiul suprapunerii fortelor.

proiectam ecuatia vectoriala pe axa ox
R = F_t - F_r,l - n·F_r,v
Miscarea fiind uniforma , acceleratia este nula
( R = ma = 0 )
→ 1p
0 = F_t - F_r,l - n·F_r,v → 1p
F_t = F_r,l + n·F_r,v → 1p
b.
R = ( M + nm )·a = F'_t - F_r,l - nF_r,v → 3p
a =[ F'_t - F_r,l - nF_r,v]/[ M + nm ]
c.

Proiectam ecuatia pe axa ox
T = ma + F_r,v → 2p
d.
Se aplica ecuatia vitezei : v = v_o + at
v = 0 ; v_o = - a't → 2p
F_t = 0
[M + nm ]·a' = - F_r,l - nF_r,v
a' = - [F_r,l + nF_r,v]/[M + nm ]→ 1p
Calculul numeric
a.
F_t = 5000N + 3·2000N = 11000N → 1p
b.
a = [ 46000N - 5000N -3·2000N ]/[40000kg + 60000kg] = 0,35N/kg = 0,35ms^-2→ 1p
c.
T = 2·10⁴kg·0,35m·s^-2 + 2000N = 9000N → 1p
d.
v_o = -11000N·100s/100000kg = 11m/s → 1p

Subiectul III.
Rezolvaţi urmatoarea problemă: (15 puncte)

Un schior urca, cu viteză constantă, pe o pistă acoperită cu zapadă, fiind tractat de o tijă conectată la un cablu de teleschi, ca în figură alaturată.

Lungimea pistei este D = AB . Unghiul de înclinare al pistei, măsurat faţa de orizontală, este α . Tija face unghiul β cu direcţia pistei. Masa schiorului echipat este m, iar coeficientul de frecare la alunecare între schiuri şi zapadă este μ . Consideraţi cunoscute valorile marimilor D, m, α, β , μ şi acceleraţia gravitaţională g .
a. Reprezentaţi, într-o diagramă realizata pe foaia de examen, forţele care acţionează asupra schiorului.
b. Determinaţi expresia forţei de tensiune din tija.
c. Determinaţi expresia lucrului mecanic efectuat de greutatea schiorului, în timpul deplasării acestuia din A în B.
d. Schiorul coboară liber panta, pornind din repaus din punctul B. Determinaţi expresia energiei cinetice atinse de schior în punctul A.

a.
diagrama fortelor:
-F tensiunea din tije
-G greutatea schiorului
-F_fforta de frecare dintre schiuri si zapada
-N forta de apasare normala
F_x si F_y componentele fortei F pe cele doua axe
b.


Proiectam ecuatia
vectoriala pe axa
ox si oy
ox: F_x -F_f - G_{x = 0}
oy : F_y + N - G_y
= 0 → N = G_y - F_y
N = μ·N
F_f = μ(G_y - F_y)
F_x -F_f - G_x = 0
F_x - μ(G_y - F_y) - G_y
= 0,    F_x = F cosβ
F_y = Fsinβ
G_y = Gcosα
G_x = Gsinα
Fcosβ - μGcoα =
μFsinβ - Gsinα = 0
F = mg[sinα + μcosα]/
[cosβ + μsinβ]
c.
L = G_x·D·cos180^o
L = - G·Dsinα = - mgDsinα

d.
Aplicam teorema de variatie a energiei cinetice:
ΔE_c = L_total
ΔE_c = E_c - E_co
E_co = 0 → ΔE_c = E_c
L_total = L_G + L_Fr
L_G = G_x·D = G·Dsinα    
L_Fr = F_Fr·D·cos180^o
F_Fr = μN = μG_y = μmgcosα
L_Fr = - μ·mgDcosα
E_c = mgDsinα- μmgDcosα = mgD( sinα - μcosα)